Question

4．如圖，已知圓F₁的半徑為4，|F₁F₂|=2，P是圓F₁上的一個動點，F₂P的中垂線l交F₁P于點Q，以直線F₁F₂為x軸，F₁F₂的中垂線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求點Q的軌跡E的方程；
（2）設過點F₂的動直線m與軌跡E交于A，B兩點，在x軸上是否存在定點R，使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值？若存在，求出點R的坐標和定值；若不存在，請說明埋由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：丨QF₂丨+丨QF₁丨=4＞|F₁F₂|=2，Q的軌跡E為以F₁，F₂為焦點，4為長軸長的橢圓，由橢圓的性質即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線m的方程x=my+1，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，求得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$=$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$，使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=λ}\\{4{t}^{2}-8t-5=4λ}\end{array}\right.$，即可求得m和λ的值．

解答 解：（1）由題意可知：丨PQ丨+丨QF₁丨=丨PF₁丨=r=4，
由F₂P的中垂線l交F₁P于點Q，則丨QF₂丨=丨PQ丨，
∴丨QF₂丨+丨QF₁丨=4＞|F₁F₂|=2，
則點Q的軌跡E為以F₁，F₂為焦點，4為長軸長的橢圓，
即2a=4，2c=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設x軸上存在一點R（t，0），使得 $\overrightarrow{RA}$•$\overrightarrow{RB}$為定值數 
①直線l的斜率存在，設直線m的方程為x=my+1，A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
把直線l的方程代入橢圓方程化簡可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
顯然△=36m²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
$\overrightarrow{RA}$•$\overrightarrow{RB}$=（x₁-t，y₁ ）（x₂-t，y₂）=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+y₁y₂，
=（1+m²）y₁y₂+m（1-t）（y₁+y₂）+t²-2t+1，
=$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$，
若存在R（t，0），使$\frac{3{m}^{2}（{t}^{2}-4）+4{t}^{2}-8t-5}{3{m}^{2}+4}$=λ成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4=λ}\\{4{t}^{2}-8t-5=4λ}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{11}{8}}\\{λ=-\frac{135}{64}}\end{array}\right.$，
故存在R（$\frac{11}{8}$，0），使得使得$\overrightarrow{RA}$$•\overrightarrow{RB}$是定值-$\frac{135}{64}$．

點評 本題考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．