Question

6．若函數f（x）=|x²-k|的圖象與函數g（x）=x-3的圖象至多一個公共點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． [9，+∞）
• C． （-∞，9]
• D． （-∞，9）

Answer 1

分析 通過①當k≤0時，聯立方程組，根據判別式△＜0，可得兩個函數的圖象無交點，故滿足條件．②當k＞0時，在同一個坐標系中，畫出這兩個函數的圖象，數形結合可得 0＜$\sqrt{k}$≤3，由此求得k的范圍．綜合①②可得k的范圍．

解答 解：①當k≤0時，函數f（x）=|x²-k|=x²-k，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-k}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，可得x²-x+3-k=0．
由于判別式△=1-4（3-k）=-11+4k＜0，故x²-3x+3-k=0無解，
故函數f（x）=|x²-k|的圖象與函數g（x）=x-3的圖象無交點，故滿足條件．
②當k＞0時，在同一個坐標系中，畫出函數f（x）=|x²-k|的圖象（紅線部分）
與函數g（x）=x-3的圖象（綠線部分），
如圖所示：
此時，若函數f（x）=|x²-k|的圖象與函數g（x）=x-3的圖象至多有一個公共點，
則有 0＜$\sqrt{k}$≤3，∴0＜k≤9．
綜合①②可得，k≤9，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個函數的圖象的交點個數的判斷，體現了分類討論以及數形結合的數學思想，屬于中檔題．