Question

15．△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，設M為△ABC內一點（不在邊界上），記x、y、z分別表示△MBC、△MAC、△MAB的面積，若z=$\frac{1}{2}，則\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$最小值為（　　）

• A． 9
• B． 8
• C． 18
• D． 16

Answer 1

分析 如圖所示，△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，可得cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，可得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵△ABC滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，
∴cbcos30°=2$\sqrt{3}$，解得bc=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin30°=$\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}$=1，
∴x+y+$\frac{1}{2}$=1，解得x+y=$\frac{1}{2}$．（x，y＞0）．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=$2（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥$2（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，當且僅當y=2x=$\frac{1}{3}$時取等號．
故選：C．

點評 本題考查了數量積運算性質、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．