Question

1．命題p：“關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0，（a＞0）的解集為∅”，命題q：“在區間[-2，4]上隨機地取一個數x，若x滿足|x|≤a（a＞0）的概率$P≥\frac{5}{6}$”，當“p∧q”與“p∨q”一真一假時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 當“p∧q”與“p∨q”一真一假時，則p與q一真一假時，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：命題p：因為關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅
所以：x²+（a-1）x+a²=0對應的△＜0即：3a²+2a-1＞0，
即：a＜-1或$a＞\frac{1}{3}$，又a＞0，所以：$a＞\frac{1}{3}$
命題q：“在區間[-2，4]上隨機地取一個數x，若x滿足|x|≤a（a＞0）的概率$P≥\frac{5}{6}$”
因為|x|≤a（a＞0），所以-a＜x＜a
當a≤2時，則$P≤\frac{2}{3}$不滿足條件，
當a＞2時，則$P=\frac{a-（-2）}{6}≥\frac{5}{6}$，所以a≥3
當“p∧q”與“p∨q”一真一假時，則p與q一真一假時，
當p真q假時，a∈$（\frac{1}{3}，3）$，
當p假q值時，不存在滿足條件的a值，
綜上可得到實數a的取值范圍：$（\frac{1}{3}，3）$．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次不等式的解法，幾何概型難度中檔．