Question

12．已知函數f（x）=x²-4x+a+3：
（1）若函數y=f（x）在[-1，1]上存在零點，求實數a的取值范圍；
（2）設函數g（x）=x+b，當a=3時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點的存在性定理列不等式組解出；
（2）求出f（x）在[5，8]上的值域和g（x）在[1，4]上的值域，根據題意得出兩值域的包含關系得出b的范圍．

解答 解：（1）f（x）的圖象對稱軸為x=2，開口向上，
∴f（x）在[-1，1]上單調遞減，
△=16-4（a+3）=-4a+4，
若函數y=f（x）在[-1，1]上存在零點，則f（-1）•f（1）≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（8+a）a≤0}\\{a＜1}\end{array}\right.$，解得-8≤a≤0；
（2）當a=3時，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[5，8]上單調遞增，
∴當x=5時，f（x）取得最小值11，當x=8時，f（x）取得最大值38，
∴f（x）在[5，8]上的值域為[11，38]；
又g（x）=x+b在[1，4]上單調遞增，∴g（x）在[1，4]上的值域為[1+b，4+b]，
∵若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴[1+b，4+b]⊆[11，38]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{11≤1+b}\\{38≥4+b}\end{array}\right.$，解得10≤b≤34．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數恒成立問題及函數最值的計算，屬于中檔題．