Question

5．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺銹最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方向構成，小正方形數越多刺銹越漂亮，向按同樣的規律刺銹（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形

（1）求f（6）的值
（2）求出f（n）的表達式
（3）求證：當n≥2時，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）總結一般性的規律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達式；
（3）根據通項特點，利用裂項法求和，結合數列的單調性即可得證．

解答 解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
f（5）=1+4+8+12+16=41，（6）=1+4+8+12+16+20=61；
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1；
（3）證明：當n≥2時，$\frac{1}{f（n-1）}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$．
由于g（n）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$為遞增數列，
即有g（n）≥g（1）=1，
且g（n）＜$\frac{3}{2}$，
則$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{3}{2}$成立．

點評 本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結其內在聯系，得到一般性的結論，同時考查了裂項法求數列的和，屬于中檔題．