Question

20．已知函數f（x）=log_a（3x²-2ax）在區間[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數，則實數a的取值范圍（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 由對數函數定義域求出x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，當a＞1時，y=3x²-2ax必須是減函數，但是不能保證在[$\frac{1}{2}$，1]大于0；當0＜a＜1時，y=3x²-2ax在區間[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數，由此能求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=log_a（3x²-2ax），
∴a＞0，3x²-2ax＞0，∴x＜0或x＞$\frac{2a}{3}$，
當a＞1時，∵函數f（x）=log_a（3x²-2ax）在區間[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數，
∴y=3x²-2ax必須是減函數，但是不能保證在[$\frac{1}{2}$，1]大于0，∴舍去
當0＜a＜1時，y=3x²-2ax在區間[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數，
∴$\frac{2a}{3}$＜$\frac{1}{2}$，再由0＜a＜1，解得0＜a＜$\frac{3}{4}$．
綜上，實數a的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．
故答案為：（0，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，涉及到對數函數、二次函數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．