Question

10．已知拋物線y²=12x，若直線的斜率為k且過點（0，-1），
（1）若斜率k=2，求拋物線被直線所截得的弦長；
（2）若直線與拋物線只有一個交點，求斜率k的取值．

Answer 1

分析 （1）設直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$消y得4x²-16x+1=0，x₁+x₂=4，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=5$\sqrt{3}$
（2）設直線的方程為y-（-1）=kx即y=kx-1
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$消y得k²x²-（2k+12）x+1=0
分k=0，k≠0兩種情況討論

解答 解：（1）設直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由題意得直線的方程為y-（-1）=2（x-0）即y=2x-1
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$消y得4x²-16x+1=0，
x₁+x₂=4，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}$
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=5$\sqrt{3}$；
（2）設直線的方程為y-（-1）=kx即y=kx-1
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$消y得k²x²-（2k+12）x+1=0
當k=0時直線y=1與拋物線交于一點（$\frac{1}{12}$，0）；
當k≠0時，則△=（2k+12）²-4k²=0．
即k=-3，直線y=3x+1與拋物線相切，只有一個交點
綜上所述：斜率k為0或-3時，直線與拋物線只有一個交點．

點評 本題考查拋物線與直線的位置關系，方程思想，屬于中檔題．