Question

1．已知O，N，P在所在△ABC的平面內，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OC}}|，\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$，則O，N，P分別是△ABC的（　　）

• A． 重心  外心  垂心
• B． 重心  外心  內心
• C． 外心  重心  垂心
• D． 外心  重心  內心

Answer 1

分析 將條件分別化簡，然后分別根據外心，重心，垂心和內心的定義，判斷結論．將條件分別化簡，然后分別根據外心，重心，垂心和內心的定義，判斷結論．

解答 解：因為且$|\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，所以0到頂點A，B，C的距離相等，所以O為△ABC的外心．
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$得（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）$\overrightarrow{PB}$=0，即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$，所以AC⊥PB．
同理可證AB⊥PC，所以P為△ABC的垂心．
若$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=0，則$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$=-$\overrightarrow{NC}$，取AB的中點E，則$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$=2$\overrightarrow{NE}$=$\overrightarrow{CN}$，所以2|NE|=|CN|，
所以N是△ABC的重心．
故選：C．

點評 本題主要考查三角形外心，重心，垂心的判斷，要求熟練掌握外心，重心，垂心和內心的判斷條件．