Question

11．已知公差不為零的等差數列{a_n}，若a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2ⁿ，求數列{b_n-a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過a₂=1+d、a₅=1+4d，利用a₁，a₂，a₅成等比數列計算可知公差d=2，進而可得結論；
（2）分別利用等差數列、等比數列的求和公式計算，相加即可．

解答 解：（1）依題意可知，a₂=1+d，a₅=1+4d，
∵a₁，a₂，a₅成等比數列，
∴（1+d）²=1+4d，即d²=2d，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知等差數列{a_n}的前n項和P_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵b_n=2ⁿ，
∴數列{b_n}的前n項和Q_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-n²-2．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查等差數列、等比數列的求和公式，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．