Question

19．如圖所示，四棱錐P  ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BD=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{7}$，PA=$\sqrt{5}$，∠CDP=90°，E、F分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）求BD與PA所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）取PB中點M，連接MF，AM．可得MF∥BC，且MF=$\frac{1}{2}$BC．再得MF∥AE且MF=AE，得四邊形AMFE為平行四邊形，即EF∥AM．證得EF∥平面PAB
（2）延長CD至N，使DN=CD，連接PN、AN，則由底面ABCD是平行四邊形⇒AB$\underline{\underline{∥}}$DN⇒AN$\underline{\underline{∥}}$BD，所以∠PAN就是所求的角，求∠PAN即可

解答 解：（1）證明：如圖所示，取PB中點M，連接MF，AM．
因為F為PC中點，所以MF∥BC，且MF=$\frac{1}{2}$BC．
由已知有BC∥AD，BC=AD，
又由于E為AD中點，因而MF∥AE且MF=AE，
故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM．
又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB．…（6分）
（2）延長CD至N，使DN=CD，連接PN、AN，則由底面ABCD是平行
四邊形⇒AB$\underline{\underline{∥}}$DN⇒AN$\underline{\underline{∥}}$BD，所以∠PAN就是所求的角，
PD垂直平分CN$⇒PN=PC=\sqrt{7}⇒P{N^2}=P{A^2}+A{N^2}⇒∠PAN={90°}$
BD與PA所成的角為90°．…（12分）

點評 本題考查了線面平行、線線角，轉化思想是解題關鍵，屬于中檔題．