Question

16．下列命題：
①若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，則a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31；
②隨機變量X服從正態分布N（1，2），則P（X＜0）=P（X＞2）；
③若二項式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展開式中所有項的系數之和為243，則展開式中x^-4的系數是40
④連擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，記向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）與向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夾角為θ，則θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率是$\frac{7}{12}$．
正確命題的序號為①②④．

Answer 1

分析 對于①，令x=0可得：a₀=-32，再令x=1，得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1，于是可判斷①正確；
對于②，隨機變量X服從正態分布N（1，2）⇒P（0≤X＜1）=P（1＜X≤2）⇒$\frac{1}{2}$-P（0≤X＜1）=$\frac{1}{2}$-P（1＜X≤2），即P（X＜0）=P（X＞2），可判斷②正確；
對于③，由（1+2）ⁿ=243，可解得：n=5，在其通項T_r+1=${{2}^{r}C}_{5}^{r}$x^5-3r（0≤r≤5）中，令5-3r=-4，解得r=3，可求得展開式中x^-4的系數是2³${C}_{5}^{3}$=80≠40，可判斷③錯誤；
對于④，依題意$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0?m≥n，由于試驗發生包含的事件數是6×6=36種結果，滿足m≥n的結果種數為6+15=21種，于是可求得向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）與向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夾角θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，可判斷④正確．

解答 解：對于①，若（x-2）⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，則令x=0，得：a₀=（-2）⁵=-32；
再令x=1，得：a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1，
所以，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=-1+32=31，故①正確；
對于②，隨機變量X服從正態分布N（1，2），則P（0≤X＜1）=P（1＜X≤2），
所以$\frac{1}{2}$-P（0≤X＜1）=$\frac{1}{2}$-P（1＜X≤2），
即P（X＜0）=P（X＞2），故②正確；
對于③，若二項式${（{x+\frac{2}{x^2}}）^n}$的展開式中所有項的系數之和為243，即（1+2）ⁿ=243，解得：n=5，
其通項為：T_r+1=${{2}^{r}C}_{5}^{r}$x^5-3r，0≤r≤5．
令5-3r=-4，解得r=3，
則展開式中x^-4的系數是2³${C}_{5}^{3}$=80≠40，故③錯誤；
對于④，∵向量 $\overrightarrow{a}$=（m，n），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
依題意，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥0，
即m-n≥0，m≥n，
由于試驗發生包含的事件數是6×6=36種結果，m=n共有6種結果分別為（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），
m＞n的結果種數為${C}_{6}^{2}$=15，
因此滿足m≥n的結果種數為6+15=21種，
所以向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）與向量$\overrightarrow{b}$=（1，-1）的夾角θ∈（0，$\frac{π}{2}$]的概率P=$\frac{21}{36}$=$\frac{7}{12}$，
故④正確．
綜上所述，正確命題的序號為：①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查二項式定理與概率統計中正態分布與古典概型的應用，屬于綜合題．