Question

已知曲線C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

，直線l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12．
（1）求直線l和曲線C的直角坐標方程；
（2）設點P在曲線C上，求到直線l的距離最小的點P的坐標．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：選作題,坐標系和參數方程

分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得；
（2）設與直線x-

3

y-12=0平行的直線為x-

3

y+c=0，當直線x-

3

y+c=0與橢圓x²+9y²=27相切時，切點滿足到直線的距離最小．

解答： 解：（1）直線l：ρ（cosθ-

3

sinθ）=12的直角坐標方程為x-

3

y-12=0，
曲線C：ρ=

3 3

8sin2θ+1

可化為直角坐標方程為x²+9y²=27；
（2）設與直線x-

3

y-12=0平行的直線為x-

3

y+c=0，當直線x-

3

y+c=0與橢圓x²+9y²=27相切時，切點滿足到直線的距離最小，聯立直線曲線構成方程組，消元可得（

3

y-c）²+9y²=27，
∴12y²-2

3

cy+c²-27=0
由△=0可求得c=±6，
由題意，直線x-

3

y-6=0與直線l的最小距離為3，此時y=-

3

2

，x=

9

2

，
∴到直線l的距離最小的點P的坐標為（

9

2

，-

3

2

）．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．