Question

9．已知函數f（x）=e^x（2x-1）-a（x-1）有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）
• D． （0，1）∪（4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 判斷y=e^x（2x-1）的單調性，作出y=e^x（2x-1）與y=a（x-1）的函數圖象，根據圖象交點個數和導數的幾何意義得出a的范圍．

解答 解：令f（x）=0得e^x（2x-1）=a（x-1），
令g（x）=e^x（2x-1），則g′（x）=e^x（2x+1），
∴當x＜-$\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0，當x＞-$\frac{1}{2}$時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上單調遞減，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上單調遞增，
作出g（x）與y=a（x-1）的函數圖象如圖所示：

設直線y=a（x-1）與g（x）的圖象相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a（{x}_{0}-1）}\\{{y}_{0}={e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}-1）}\\{a={e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}+1）}\end{array}\right.$，解得x₀=0，y₀=-1，a=1，或x₀=$\frac{3}{2}$，y₀=2e${\;}^{\frac{3}{2}}$，a=4e${\;}^{\frac{3}{2}}$，
∵f（x）有兩個不同的零點，
∴g（x）與y=a（x-1）的函數圖象有兩個交點，
∴0＜a＜1或a＞4e${\;}^{\frac{3}{2}}$．
故選D．

點評 本題考查了函數單調性的判斷，函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．