Question

10．命題“?x₀∈R，asinx₀+cosx₀≥2”為假命題，則實數a的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 原命題為假命題，則原命題的否定為真命題，命題否定為：?x₀∈R，asinx₀+cosx₀＜2；求出原命題否定的a取值范圍即可．

解答 解：原命題“?x₀∈R，asinx₀+cosx₀≥2”為假命題，
則原命題的否定為真命題，
命題否定為：?x₀∈R，asinx₀+cosx₀＜2；
asinx₀+cosx₀=$\sqrt{{a}^{2}+1}$ sin（x₀+θ）＜2；
則：$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜2⇒-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$；
也即：原命題否定為真命題時，a∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
故原命題為假時，a的取值范圍為∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了命題與命題的否定之間的轉換關系，以及轉化思想的應用，屬中等題．