Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）＞1-f′（x），f（0）=0，f′（x）是f（x）的導函數，則不等式e^xf（x）＞e^x-1（其中e為自然對數的底數）的解集為（　　）

• A、（-∞，-1）∪（0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0）∪（1，+∞）
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考點：導數的運算

專題：導數的概念及應用

分析：構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解．

解答： 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f′（x）＞1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
∵e^xf（x）＞e^x-1，
∴g（x）＞-1，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=-1，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故選：B．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．