Question

6．給出下列函數：
①y=x+$\frac{1}{x}$；
②y=lgx+log_x10（x＞0，x≠1）；
③y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0＜x≤$\frac{π}{2}$）；
④y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$；
⑤y=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x-2}$）（x＞2）．
其中最小值為2的函數序號是③⑤．

Answer 1

分析 運用分類討論可判斷①②不成立；由函數的單調性可知④不成立；運用正弦函數的單調性可得③對；由x-2＞0，運用基本不等式可知⑤對．

解答 解：①y=x+$\frac{1}{x}$，當x＞0時，y有最小值2；x＜0時，有最大值-2；
②y=lgx+log_x10（x＞0，x≠1），x＞1時，有最小值2；0＜x＜1時，有最大值-2；
③y=sinx+$\frac{1}{sinx}$（0＜x≤$\frac{π}{2}$），t=sinx（0＜t≤1），y=t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$=2，x=$\frac{π}{2}$最小值取得2，成立；
④y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$（t≥$\sqrt{2}$），y=t+$\frac{1}{t}$遞增，t=$\sqrt{2}$時，取得最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
⑤y=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x-2}$）（x＞2）=$\frac{1}{2}$（x-2+$\frac{1}{x-2}$+2）≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{（x-2）•\frac{1}{x-2}}$+2）=2，x=3時，取得最小值2．
故答案為：③⑤．

點評 本題考查函數最值的求法，考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．