Question

18．已知函數f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求f（x）的定義域及單調區間；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時x的值；
（3）設函數g（x）=log₄[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2x+3-x²＞0，可得函數的定義域，利用復合函數“同增異減”的原則，可得函數f（x）的單調區間；
（2）由（1）中函數的單調性，可得當x=1時，函數f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，即a≥-（x+$\frac{1}{x}$）在x∈（0，3）上恒成立，解得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）令2x+3-x²＞0，
解得：x∈（-1，3），
即f（x）的定義域為（-1，3），
令t=2x+3-x²，
則y=log₄t，
∵y=log₄t為增函數，
x∈（-1，1]時，t=2x+3-x²為增函數；
x∈[1，3）時，t=2x+3-x²為減函數；
故f（x）的單調增區間為（-1，1]；f（x）的單調減區間為[1，3）
（2）由（1）知當x=1時，t=2x+3-x²取最大值4，
此時函數f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
則2x+3-x²≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，
即x²+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，
即a≥-（x+$\frac{1}{x}$）在x∈（0，3）上恒成立，
當x∈（0，3）時，x+$\frac{1}{x}$≥2，則-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
故a≥-2．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，復合函數的單調性，函數的定義域，函數的最值，難度中檔．