Question

已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＜0，設(shè)b_n=（

1

2

） an，又已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d．由已知條件得

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數(shù)，從而可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，可得b₁+b₃=

17

8

，b₁•b₃=

1

4

利用，{b_n}公比為q=(

1

2

)d∈（0，1），可得b_n=（

1

2

）^2n-3，從而得到a_n=2n-3，n∈N^*．

解答： （1）證明：設(shè){a_n}的公差為d，則

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d為常數(shù)，
∴{b_n}為以(

1

2

)a1為首項(xiàng)，公比為(

1

2

)d的等比數(shù)列．
（2）解：∵b₁•b₂•b₃=

1

8

，∴b₂=

1

2

，
∵b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，
∴b₁+b₃=

17

8

，b₁•b₃=

1

4

，
由{b_n}公比為q=(

1

2

)d∈（0，1），
∴b₁＞b₃，∴b₁，=2，b₃=

1

8

，
∴b_n=（

1

2

）^2n-3，
∴a_n=2n-3，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．