Question

已知函數f（x）=x³-3x+4
（1）證明：函數y=f（x）在[1，+∞）上為增函數；
（2）證明：方程f（x）=0沒有大于1的根．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數和函數的單調性的關系，繼而求出函數的單調區間，問題得以證明；
（2）根據導數和函數的極值的關系，先求出極值，得到極值都大于0，故f（x）=0只有一個小于-1的實根，問題得以證明

解答： 證明：（1）∵f（x）=x³-3x+4，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，解得x=-1，x=1
當f′（x）＞0時，即x＞1或x＜-1，函數f（x）單調遞增，
∴函數y=f（x）在[1，+∞）上為增函數；
（2）由（1）知，函數f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）為增函數，在（-1，1）為減函數，
∴當x=-1時，函數有極大值，極大值為f（-1）=-1+3+4=6＞0，
當x=1時，函數有極小值，極小值為f（1）=1-3+4=2＞0
∴f（x）=0只有一個小于-1的實根，
∴方程f（x）=0沒有大于1的根．

點評：本題考查了導數和函數的單調性極值的關系，屬于中檔題