Question

已知雙曲線C的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，其中一條漸近線為y=

3

x，點A在雙曲線C上，若|F₁A|=2|F₂A|，則cos∠AF₂F₁=（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  3

• C、

  2

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,解三角形,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知得漸近線的斜率為

3

，即有b=

3

a，再求c=2a，運(yùn)用雙曲線的定義和條件，求得三角形AF₂F₁的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答： 解：由于雙曲線的一條漸近線y=

b

a

x，且為y=

3

x，則斜率為

3

，
即有b=

3

a，c=

a2+b2

=2a，
|F₁A|=2|F₂A|，且由雙曲線的定義，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=4a，|F₂A|=2a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=

|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2

2|AF2|•|F1F2|

=

4a2+4×4a2-16a2

2×2a×4a

=

1

4

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．