Question

已知函數f（x）=2sin（ωx），期中常數ω＞0．
（1）若ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，得到的函數y=g（x）的圖象，求g（x）；
（2）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（3）對（1）中個g（x），區間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先求得解析式f（x）=2sin2x，向左平移

π

6

個單位，得到的函數解析式g（x）=2sin（2x+

π

3

）；
（2）由題意可得

- π 4 ω≥- π 2 2π 3 ω≤ π 2

，從而可求ω的取值范圍；
（3）令g（x）=0，得x=

kπ

2

-

π

6

，（k∈Z）．可得相鄰兩個零點之間的距離為

π

2

，結合圖象可知b-a≥14T+

π

2

，可求b-a的最小值．

解答： 解：（1）若ω=2，由題意得f（x）=2sin2x，向左平移

π

6

個單位，得到的函數y=g（x）=2sin[2（x+

π

6

）]=2sin（2x+

π

3

）．
故g（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）因為ω＞0，y=f（x）=2sinωx在[-

π

4

，

2π

3

]單調遞增，
∴

- π 4 ω≥- π 2 2π 3 ω≤ π 2

，解得0＜ω≤

3

4

．
∴ω的取值范圍為（0，

3

4

]．
（3）∴函數y=g（x）=2sin（2x+

π

3

），
令g（x）=0，得x=

kπ

2

-

π

6

，（k∈Z）．
∴相鄰兩個零點之間的距離為

π

2

．T=π
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有30個零點，至少包含14.5個周期．
結合圖象可知b-a≥14T+

π

2

=

29π

2

．
∴b-a的最小值為

29π

2

．

點評：本題考查三角函數的性質和圖象，涉及根的個數的判斷，注意三角函數的周期的應用，屬中檔題．