Question

f（x）是定義在（0，+∞）的函數，且f（xy）=f（x）+f（y）；當x＞1是有f（x）＜0；f（3）=-1
（1）求f（1）和f（

1

9

）的值；
（2）證明f（x）在x＞0上是減函數；
（3）解不等式f（x）+f（2-x）＜2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（

1

9

）的值；
（2）且當x＞1時，f（x）＜0，根據函數單調性的定義討論函數的單調性．
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．

解答： （1）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，得f（

1

9

）=2．
（2）證明：若0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
當x＞1時，f（x）＜0
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數，
（3）∵f（x）+f（2-x）＜2，
∴f（x（2-x））＜f（

1

9

），
∴

x＞0 2-x＞0 x(2-x)＞ 1 9

，
解得1-

2 2

3

＜x＜1+

2 2

3

，
故不等式的解集為（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）

點評：本題考查利用函數單調性的定義探討抽象函數的單調性問題，對于解決抽象函數的一般采用賦值法，求某些點的函數值和證明不等式等，體現了轉化的思想．