Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
（1）試求計論函數f（x）的單調區間；
（2）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數恒成立問題,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=x²-ax=x（x-a）；由導數的正負確定函數的單調性；
（2）由（1）知，化恒成立問題為f（a）＞0；即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；從而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

3

a（a＞0）
∴f′（x）=x²-ax=x（x-a）；
∴當x∈（-∞，0），（a，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0；
故函數f（x）的單調增區間是（-∞，0），（a，+∞）；
單調減區間是（0，a）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，a）單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增；
故當x≥0時，f（x）＞0恒成立可化為f（a）＞0；
即

1

3

a³-

1

2

a•a²+

2

3

a＞0；
即（a+2）a（a-2）＜0；
又∵a＞0；
∴0＜a＜2．
即a的取值范圍為（0，2）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．