Question

已知f（x）=

1

2

（cos⁴x-sin⁴x）+

3

sinxcosx．
（1）化簡f（x）為f（x）=Asin（wx+φ）的形式；
（2）若

π

2

＜α＜π，

π

4

＜β＜

2π

3

，f（

α

2

）=

1

2

，f（

β

2

-

π

6

）=

3

2

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：（1）由同角三角函數關系式和二角和的正弦公式即可化簡可得f（x）=sin（2x+

π

6

）．
（2）由已知可得

2π

3

＜α+

π

6

＜

7π

6

，

π

12

＜β-

π

6

＜

π

2

，從而可求cos（α+

π

6

）的值，cos（β-

π

6

）的值，從而可求sin（α+β）的值．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（cos⁴x-sin⁴x）+

3

sinxcosx=

1

2

（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+

3

sinxcosx=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x+

π

6

）．
（2）∵

π

2

＜α＜π，

π

4

＜β＜

2π

3

，f（

α

2

）=sin（α+

π

6

）=

1

2

，f（

β

2

-

π

6

）=sin[2（

β

2

-

π

6

）+

π

6

]=sin（β-

π

6

）=

3

2

，
∵

2π

3

＜α+

π

6

＜

7π

6

，

π

12

＜β-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（α+

π

6

）=-

1-sin2(α+ π 6 )

=-

3

2

，cos（β-

π

6

）=

1-sin2(β- π 6 )

=

1

2

，
∴sin（α+β）=sin（α+

π

6

+β-

π

6

）=sin（α+

π

6

）cos（β-

π

6

）+cos（α+

π

6

）sin（β-

π

6

）=

1

2

×

1

2

+(-

3

2

)×

1

2

=

1- 3

4

．

點評：本題值域考查了兩角和與差的正弦函數公式的應用，屬于基本知識的考查．