Question

如圖，已知y=kx（k≠0）與橢圓：

x2

2

+y²=1交于P，Q兩點，過點P的直線PA與PQ垂直，且與橢圓C的另一個交點為4．
（1）求直線PA與AQ的斜率之積；
（2）若直線AQ與x軸交于點B，求證：PB與x軸垂直．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設P（x₁，y₁），A（x₂y₂），聯立

x2+2y2=2 y=kx

，得（2k²+1）x²=2，x2=

2

2k2+1

，設Q（-x₁，-y₁），由此能求出直線PA與AQ的斜率之積為-

1

2

．
（2）由kAQ=

y2+y1

x2+x1

=-

1

2k1

，得k_AQ=

k

2

，從而直線AQ的方程為y-（-y₁）=

k

2

[x-(-x1)]，由此能證明直線PB與x軸垂直．

解答： （1）解：設P（x₁，y₁），A（x₂y₂），
聯立

x2+2y2=2 y=kx

，得（2k²+1）x²=2，
∴x2=

2

2k2+1

，∴P，Q的橫坐標互為相反數，
∴設Q（-x₁，-y₁），
∵直線PQ的斜率為k，且k≠0，
而kPA=

y2-y1

x2-x1

，kAQ=

y2+y1

x2+x1

，
∴kPA•kAQ=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

，
∵P，A都在橢圓上，∴

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
∴kPA•kAQ=

y22-y12

x22-x12

=

(1- x22 2 )-(1- x12 2 )

x22-x12

=

1 2 (x12-x22)

x22-x12

=-

1

2

，
∴直線PA與AQ的斜率之積為-

1

2

．
（2）證明：∵kAQ=

y2+y1

x2+x1

=-

1

2k1

，而PQ，PA垂直，
∴k1=-

1

k

，∴k_AQ=

k

2

，
∴直線AQ的方程為y-（-y₁）=

k

2

[x-(-x1)]，
令y=0，得y₁=

k

2

(x+x1），
∵點P（x₁，y₁）直線y=kx上，∴y₁=kx₁，
代入得到B點的橫坐標為x₀=x₁，
∴直線PB與x軸垂直．

點評：本題考查直線PA與AQ的斜率之積的求法，考查PB與x軸垂直的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．