Question

已知函數f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）當a=

1

4

時，求函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意實數b∈（1，2），當x∈（-1，b]時，函數f（x）的最大值為f（b），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）將a=

1

4

時代入函數f（x）解析式，求出函數f（x）的導函數，令導函數等于零，求出其根；然后列出x的取值范圍與f′（x）的符號及f（x）的單調性情況表，從表就可得到函數f（x）的極值；
（Ⅱ）由題意首先求得：f′(x)=

x[2ax-(1-2a)]

x+1

，故應按a＜0，a=0，a＞0分類討論：當a≤0時，易知函數f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，從而當b∈（0，1）時f（b）＜f（0），則不存在實數b∈（1，2），符合題意；當a＞0時，令f′（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，又要按根x=

1

2a

-1大于零，小于零和等于零分類討論；對各種情況求函數f（x）x∈（-1，b]的最大值，使其最大值恰為f（b），分別求得a的取值范圍，然而將所得范圍求并即得所求的范圍；若求得的a的取值范圍為空則不存在，否則存在．

解答： 解：（Ⅰ）當a=

1

4

時，f(x)=ln(x+1)+

1

4

x2-x，
則f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，化簡得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

（x＞-1），
列表如下：

x	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數f（x）在（-1，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，且f（0）=0，
f（1）=ln2-

3

4

，
∴函數y=f（x）在x=1處取到極小值為ln2-

3

4

，在x=0處取到極大值為0；

（Ⅱ）由題意f′(x)=

x[2ax-(1-2a)]

x+1

，
（1）當a≤0時，函數f（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，
此時，不存在實數b∈（1，2），使得當x∈（-1，b）時，函數f（x）的最大值為f（b）； 
（2）當a＞0時，令f′（x）=0有x=0或x=

1

2a

-1，
①當

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時，函數f（x）在（-1，

1

2a

-1）和（0，+∞）上單調遞增，
在（

1

2a

-1，0）上單調遞減，要存在實數b∈（1，2），使得當x∈（-1，b]時，
函數f（x）的最大值為f（b），則f（

1

2a

-1）＜f（1），代入化簡得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0，
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1（a＞

1

2

），
∵g′(x)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，
∴a＞

1

2

時，ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0恒成立；
②當

1

2a

-1＞0，即0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（-1，0）和（

1

2a

-1，+∞）上單調遞增，
在（0，

1

2a

-1）上單調遞減，此時由題，只需

1 2a -1≤1 f(1)≥0

，解得a≥1-ln2，
又1-lna＜

1

2

，
∴此時實數a的取值范圍是1-ln2≤a＜

1

2

；
③當a=

1

2

時，函數f（x）在（-1，+∞）上單調遞增，顯然符合題意．
綜上，實數a的取值范圍是[1-ln2，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，著重考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，解答該題要求考生具有較強的邏輯思維能力，屬難度較大的題目．