Question

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-

1

2

（1）求拋物線的標準方程；
（2）若點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是Q點M（1，

15

2

），是判斷|PM|+|PQ|是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在，請說明理由；
（3）過拋物線焦點FZ作互相垂直的兩直線分別交拋物線與A、C、B、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

p

2

=

1

2

，由此能求出拋物線方程．
（2）由題意知點M在拋物線的外側，延長PQ交直線x=-

1

2

于點N，由拋物線定義知|PN|=|PQ|+

1

2

=|PF|，當三點M，P，F共線時，|PM|+|PF|最小，|PM|+|PF|=|MF|，由此能求出|PM|+|PQ|的最小值．
（3）設過點F的直線方程為y=k（x-

1

2

），由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，由此利用韋達定理，弦長公式，結合已知條件能求出四邊形ABCD面積的最小值．

解答： 解：（1）由題意知拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-

1

2

，
∴

p

2

=

1

2

，即p=1，
∴拋物線方程為y²=2x．
（2）由題意知點M在拋物線的外側，延長PQ交直線x=-

1

2

于點N，
由拋物線定義知|PN|=|PQ|+

1

2

=|PF|，
當三點M，P，F共線時，|PM|+|PF|最小，
此時為|PM|+|PF|=|MF|，
又焦點坐標為F（

1

2

，0），
∴|MF|=

(1- 1 2 )2+( 15 2 )2

=2，
∴|PM|+

1

2

+|PQ|的最小值為2，
∴|PM|+|PQ|的最小值為

3

2

．
（3）設過點F的直線方程為y=k（x-

1

2

），
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
由韋達定理，得x1+x2=1+

2

k2

，x1x2=

1

4

，
∴|AC|=

1+k2

•

(1+ 2 k2 )2-1

=2+

2

k2

，
同理，|BD|=2+2k²，
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

(2+

2

k2

)(2+2k2)=2（2+k²+

1

k2

）≥8，
當且僅當k2=

1

k2

時，取等號，
∴四邊形ABCD面積的最小值．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查線段和最小值的求法，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．