Question

已知函數f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數，則下列命題是真命題的是

 

①f（1）=1；
②f（x）的導函數f′（x）是奇函數；
③f（x）在區間（0，1）上是增函數；
④f（x）有一個零點；
⑤函數y=f（x）與函數y=x²+2的圖象有且只有一個公共點．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：根據函數f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數，滿足f（-x）=f（x），求出k值，進而求出函數的解析式，再逐一分析五個命題的真假，可得答案．

解答： 解：∵函數f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
即（1+k）（e^-x-e^x）=0，
即k=-1，
此時f（x）=x²+e^x+e^-x，
∴①f（1）=1+e+e^-1≠1，故錯誤；
②f（x）的導函數f′（x）=2x+e^x-e^-x是奇函數，故正確；
③當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在區間（0，1）上是增函數，故正確；
④由③結合函數f（x）為偶函數，可得當且僅當x=0時，函數取最小值2，故f（x）沒有零點，故錯誤；
⑤令h（x）=x²+e^x+e^-x-（x²+2）=e^x+e^-x-2，則當且僅當x=0時，h（x）=0，故函數y=f（x）與函數y=x²+2的圖象有且只有一個公共點，故正確．
綜上所述命題是真命題的是：②③⑤，
故答案為：②③⑤

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數的奇偶性，單調性，函數的零點，難度中檔．