Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的邊長及棱的長度均為2，求：
（1）異面直線AC及A₁B₁的距離．
（2）點C₁到平面A₁BC的距離；
（3）三棱錐C₁-A₁BC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以A為原點，AC為y軸，AA₁這z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC及A₁B₁的距離．
（2）求出平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出點C₁到平面A₁BC的距離．
（3）求出S△A1BC=

1

2

×2×

(2 2 )2-1

=

7

，由此能求出三棱錐C₁-A₁BC的體積．

解答： 解：（1）以A為原點，AC為y軸，AA₁這z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），C（0，2，0），B（

3

，1，0），
A₁（0，0，2），B₁（

3

，1，2），C₁（0，2，2），

AC

=（0，2，0），

A1B1

=（

3

，1，0），
設異面直線AC及A₁B₁的公共法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =2y=0 n • A1B1 = 3 x+y=0

，∴

n

=（0，0，1），

AA1

=（0，0，2），
∴面直線AC及A₁B₁的距離d₁=

| AA1 • n |

| n |

=

2

1

=2．
（2）

A1B

=（

3

，1，-2），

A1C

=（0，2，-2），
設平面A₁BC的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • A1B = 3 a+b-2c=0 m • A1C =2b-2c=0

，取b=1，得

m

=（

3

3

，1，1），

A1C1

=（0，2，0），
點C₁到平面A₁BC的距離d₂=

| A1C1  • m |

| m |

=

2

1 3 +1+1

=

3 21

7

．
（3）∵A1B=A1C=

1+1

=

2

，BC=2，
∴S△A1BC=

1

2

×2×

(2 2 )2-1

=

7

，
∴三棱錐C₁-A₁BC的體積V=

1

3

S△A1BC•d2=

1

3

×

7

×

3 21

7

=

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．