Question

已知拋物線(xiàn)D的頂點(diǎn)是橢圓C：

x2

16

+

y2

15

=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線(xiàn)D的方程；
（2）過(guò)橢圓C右頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)D于M、N兩點(diǎn)．
①若直線(xiàn)l的斜率為1，求MN的長(zhǎng)；
②是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）．由橢圓C：

x2

16

+

y2

15

=1可得右焦點(diǎn)（1，0），即可得出p；
（2）①把直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式即可得出；
②設(shè)存在直線(xiàn)m：x=a滿(mǎn)足題意，則圓心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，過(guò)E作直線(xiàn)x=a的垂線(xiàn)，垂足為F，設(shè)直線(xiàn)m與圓E的一個(gè)交點(diǎn)為G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²=(a-3)x1+4a-a2，當(dāng)a=3時(shí)，|FG|²=3，此時(shí)直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值．

解答： 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（1，0），
∴P=2．
∴拋物線(xiàn)D的方程為y²=4x．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
①直線(xiàn)l的方程為：y=x-4，聯(lián)立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0，
x₁+x₂=12，x₁x₂=16．
∴|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(122-4×16)

=4

10

．
②設(shè)存在直線(xiàn)m：x=a滿(mǎn)足題意，則圓心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，
過(guò)E作直線(xiàn)x=a的垂線(xiàn)，垂足為F，
設(shè)直線(xiàn)m與圓E的一個(gè)交點(diǎn)為G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²，
即|FG|²=|EA|²-|FE|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2，
當(dāng)a=3時(shí)，|FG|²=3，此時(shí)直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2

3

．
因此存在直線(xiàn)m：x=3滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、與直線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．