Question

已知函數f（x）=x²+（a-1）x+a為偶函數．
（1）求a的值；
（2）設函數，g（x）=

f(x)

x

，當x∈[1，+∞]時，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用偶函數的性質，f（-x）=f（x），可求得a的值；
（2）依題意，當x∈[1，+∞）時，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立?-m²-2m+4≤x+

1

x

恒成立，構造函數h（x）=x+

1

x

，利用雙鉤函數的單調性質可求得h（x）_min，從而解不等式-m²-2m+4≤h（x）_min，即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+（a-1）x+a為偶函數，
∴f（-x）=（-x）²+（a-1）•（-x）+a=x²-（a-1）x+a=x²+（a-1）x+a=f（x），
∴2（a-1）x=0恒成立，故a=1；
（2）由（1）知，a=1，f（x）=x²+1，
∴g（x）=

f(x)

x

=x+

1

x

，
∵當x∈[1，+∞）時，不等式g（x）+f（m）+2m≥5恒成立?x∈[1，+∞）時，x+

1

x

+m²+1+2m≥5恒成立?x∈[1，+∞）時，-m²-2m+4≤x+

1

x

恒成立，
令h（x）=x+

1

x

，
則x∈[1，+∞）時，-m²-2m+4≤h（x）_min，
∵雙鉤函數h（x）=x+

1

x

在區間[1，+∞）上單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=2，
∴-m²-2m+4≤2，即m²+2m-2≥0，
解得：m≥

3

-1或m≤-

3

-1．
∴m的取值范圍是（-∞，-1-

3

]∪[

3

-1，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查函數的奇偶性單調性與最值，考查構造函數思想與等價轉化思想的綜合運用，屬于難題．