Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a為正實數）
（1）設0＜a＜1時，試討論f（x）的單調性；
（2）設g（x）=x²-2bx+4，當a=

1

4

時，
①若?x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數b的取值范圍．
②對于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，求λ的值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導，得到f′（x）═-

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

，分a=

1

2

時，0＜a＜

1

2

時，

1

2

＜a＜1時3種情況分別討論，最后綜合討論結果，即可得到f（x）的單調性；
（2）①由（1）的結論，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，則f（x₁）≥g（x₂），可轉化為f（x₂）≤-

1

2

，由g（x）=x²-2bx+4，我們易由函數恒成立問題的處理方法，求出滿足條件的實數b取值范圍．
②由（1）中結論函數f（x）單調性，構造函數h（x）=f（x）+

λ

x

，可得函數h（x）是減函數，根據h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可構造關于λ的不等式，解不等式即可得到答案．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-ax+

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=-

(ax-1+a)(x-1)

x2

=-

a(x- 1-a a )(x-1)

x2

令f′（x）=0，解得x=1，或x=

1-a

a

，
①當

1-a

a

=1時，即a=

1

2

，f′（x）≤0恒成立，
∴函數f（x）在（0，+∞）為減函數，
②當

1-a

a

＞1時，即0＜a＜

1

2

時，
令f′（x）＞0，即1＜x＜

1-a

a

，函數遞增，
令f′（x）＜0，即0＜x＜1，或x＞

1-a

a

，函數遞減，
∴函數f（x）在（1，

1-a

a

）上是增函數，在（0，1）和（

1-a

a

，+∞）上是減函數
③當

1-a

a

＜1時，即

1

2

＜a＜1時，
令f′（x）＞0，即

1-a

a

＜x＜1，函數遞增，
令f′（x）＜0，即0＜x＜

1-a

a

，或x＞1函數遞減，
∴函數f（x）在（

1-a

a

，1）上是增函數，在（0，

1-a

a

）和（1，+∞）上是減函數
（2）①當a=

1

4

時，時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，
∴對任意x₁∈（0，2），有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g（x）=x²-2bx+4≤-

1

2

，即2b≥x+

9 2

x

∈[

17

4

，

11

2

]，
∴2b≥

17

4

，解得b≥

17

8

，即實數b取值范圍是[

17

8

，+∞）
（②）不妨設1＜x₁≤x₂≤2，由函數f（x）在（1，2]上是增函數，函數y=

1

x

在（1，2]是減函數，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，等價于，f（x₂）-f（x₁）≤λ（

1

x1

-

1

x2

），
∴f（x₂）+λ

1

x2

）≤f（x₁）+λ

1

x1

，
設h（x）=f（x）+

λ

x

=lnx-

1

4

x+

3

4x

+

λ

x

是減函數
∴h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，
即

3

4

+λ≥x-

1

4

x2=-

1

4

（x-2）²+1
解得λ≥

1

4

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，函數恒成立問題，其中（1）的關鍵是對a值進行分類討論，而（2）的關鍵是構造函數，屬于難題