Question

在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知射線θ=

π

4

與曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數）相交于A、B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：由射線θ=

π

4

可得直角坐標方程：y=x（x≥0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中點M（x₀，y₀）．曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數）消去參數t可得y=（x-2）²，把y=x代入可得x²-5x+4=0，再利用根與系數的關系、中點坐標公式即可得出．

解答： 解：由射線θ=

π

4

可得直角坐標方程：y=x（x≥0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中點M（x₀，y₀）．
曲線

x=t+1 y=(t-1)2

（t為參數）消去參數t可得y=（x-2）²，
把y=x代入可得x²-5x+4=0，
可得x₁+x₂=5，
∴x₀=

5

2

=y₀．
∴線段AB的中點的直角坐標為(

5

2

，

5

2

)．
故答案為：(

5

2

，

5

2

)．

點評：本題考查了把直線的參數方程化為普通方程、極坐標化為直角坐標方程、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．