Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對邊，D為邊AC的中點，a=3

2

，cos∠ABC=

2

4

（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運用余弦定理和正弦定理及同角的平方關系，即可計算得到；
（Ⅱ） 以BA，BC為鄰邊作平行四邊形ABCE，再由誘導公式和余弦定理和面積公式，計算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ） a=3

2

 ，  cos∠ABC=

2

4

，c=3，
由余弦定理：b²=c²+a²-2cacos∠ABC
=32+(3

2

)2-2×3

2

×3×

2

4

=18，
∴b=3

2

． 
又∠ABC∈（0，π），所以sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

14

4

，
由正弦定理：

c

sin∠ACB

=

b

sin∠ABC

，
得sin∠ACB=

c×sin∠ABC

b

=

7

4

．
（Ⅱ） 以BA，BC為鄰邊作如圖所示的平行四邊形ABCE，如圖，
則cos∠BCE=-cos∠ABC=-

2

4

，BE=2BD=6，
在△BCE中，由余弦定理：BE²=CB²+CE²-2CB•CE•cos∠BCE． 
即36=CE2+18-2×3

2

×CE×(-

2

4

)，
解得：CE=3，即AB=3，
所以S△ABC=

1

2

acsin∠ABC=

9 7

4

．

點評：本題考查正弦定理和余弦定理及面積公式的運用，同時考查誘導公式和同角的平方關系的運用，屬于基礎題．