Question

定義在區間[-

2

3

π，π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，當x∈[-

2

3

π，

π

6

]時函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞O，ω＞0，O＜ϕ＜π）圖象如圖所示．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）設θ∈[

π

6

，

π

2

]，若，f（θ）=

6

5

，求sin（2θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先求出周期T及ω的值，可得f(x)=2sin(x+

2π

3

)，由函數y=f （x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，討論可得函數y=f（x）的表達式；
（2）先求得sinθ，cosθ的值，用兩角和及倍角公式化簡原式后代入即可求值．

解答： 解：（1）當 x∈[-

2

3

π，

π

6

]時，由圖象知：A=2，

T

4

=-

π

6

-(-

2π

3

)=

π

2

∴T=2π，故ω=1
又f（x）=Asin（ωx+φ）過(-

π

6

，2)(0＜φ＜π)，
∴-

π

6

+φ=

π

2

⇒φ=

2π

3

∴f(x)=2sin(x+

2π

3

)
∵函數y=f （x）的圖象關于直線x=

π

6

對稱，
∴f(x)=f(

π

3

-x)
當

π

6

≤x≤π時，-

2π

3

≤

π

3

-x≤

π

6

，
∴f(x)=f(

π

3

-x)=2sin(

π

3

-x+

2π

3

)=2sinx
∴f（x）=

2sin(x+ 2π 3 )- 2 3 π≤x≤ π 6 2sinx π 6 ≤x≤π

（2）解：∵θ∈[

π

6

，

π

2

]，
∴由f(θ)=

6

5

得：2sinθ=

6

5

⇒sinθ=

3

5

因此，cosθ=

4

5

，
∴sin(2θ+

π

3

)=sin2θcos

π

3

+cos2θsin

π

3

=sinθcosθ+

3

2

(cos2θ-sin2θ)=

3

5

×

4

5

+

3

2

(

16

25

-

9

25

)=

24+7 3

50

．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數的圖象與性質，考查了轉化思想，屬于中檔題．