Question

已知函數f（x）=-x²-x+a，g（x）=

f(x)， x≤2 f(x-1)+2， x＞2

且函數y=g（x）-ax恰有三個不同的零點，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意化簡g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F（x）=ax-a；從而化函數y=g（x）-ax恰有三個不同的零點為G（x）與F（x）恰有三個不同的交點，從而作圖求解．

解答： 解：f（x-1）=-（x-1）²-（x-1）+a=-x²+x+a；
故g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；
令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F（x）=ax-a；
則函數y=g（x）-ax恰有三個不同的零點可化為
G（x）與F（x）恰有三個不同的交點，
作函數G（x）與F（x）的圖象如下，

結合圖象知，a＜0；
當直線與曲線相切時取臨界值，
設切點為（x，-x²-x）；
則f′（x）=-2x-1=

-x2-x

x-1

；
解得，x=1-

2

；故a=-2（1-

2

）-1=2

2

-3；
故實數a的取值范圍為（2

2

-3，0）；
故答案為：（2

2

-3，0）．

點評：本題考查了分段函數的化簡與應用，同時考查了函數的零點與函數的交點的關系應用，屬于中檔題．