Question

如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，若∠PDA=45°，
（1）求證：MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD．
（2）探究矩形ABCD滿足什么條件時，有PC⊥BD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用三角形的中位線得到線線平行，進一步得到線面平行，利用線線垂直進一步轉化成線面垂直．
（2）利用線面垂直轉化線線垂直，最后確定矩形是正方形．

解答： （1）證明：如圖，取PD的中點E，連接AE，NE．
E、N分別為PD，PC的中點，
所以：EN∥CD，EN=

1

2

CD，
又M為AB的中點，
所以：AM=

1

2

CD，AM∥CD，
EN∥AM，EN=AM，
所以：四邊形AMNE為平行四邊形．
MN∥AE，
所以：MN∥平面PAD，
PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，
所以：△PAD是等腰直角三角形，
所以：AE⊥PD．
又CD⊥AD，CD⊥PA，AD交PA于A，
所以：CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，
所以：CD⊥AE，
又CD交PD于D，
所以：AE⊥平面PCD，
則：MN⊥平面PCD，
（2）若 PC⊥BD，又PA⊥BD，PA交PC于P，
所以：BD⊥平面PAC，
所以：BD⊥AC，即矩形ABCD的對角線互相垂直．
此時矩形為正方形．
即當矩形ABCD為正方形時，滿足PC⊥BD．

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，屬于基礎題型．