Question

已知函數f（x）=lg

1-x

1+x

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≤1，求實數x的取值范圍；
（3）關于x的方程10^f（x）=ax有實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數奇偶性的判斷,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令真數大于0可得到函數的定義域，利用對數的運算律化簡f（-x），判斷出與f（x）的關系，再由函數奇偶性的定義得出結論；
（2）把f（x）≤1化為：lg

1-x

1+x

≤lg10，由函數的定義域和對數函數的單調性，列出不等式組求出x的范圍；
（3）根據解析式把方程10^f（x）=ax有實數解化為：a=

1-x

x2+x

在（-1，1）有實數解，設g（x）=

1-x

x2+x

，并求出g′（x）化簡后，利用二次函數的性質得到單調區間，求出函數的最大值、最小值，得到函數的值域，就是實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0得，（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
所以函數f（x）的定義域是（-1，1），
因為f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
所以函數f（x）是奇函數；
（2）由f（x）≤1得，lg

1-x

1+x

≤1=lg10，
所以

1-x 1+x ＞0 1-x 1+x ≤10

，即

-1＜x＜1 1-x≤10+10x

，解得-

9

11

≤x＜1，
則實數x的取值范圍是[-

9

11

，1）；
（3）由10^f（x）=ax得，

1-x

1+x

=ax，且-1＜x＜1，
當x=0時，方程不成立；
當x≠0時，方程化為a=

1-x

x2+x

，設g（x）=

1-x

x2+x

，
則方程10^f（x）=ax有實數解化為a=

1-x

x2+x

在（-1，1）有實數解，
即實數k屬于函數g（x）=

1-x

x2+x

在（-1，1）上的值域，
則g′（x）=

-(x2+x)-(1-x)(2x+1)

(x2+x)2

=

x2-2x-1

(x2+x)2

，
令h（x）=x²-2x-1=0，解得x=

2± 4+4

2

=1±

2

，則x=1-

2

，
所以當-1＜x＜1-

2

時，h（x）＞0，則g′（x）＞0，
當1-

2

＜x＜1時，h（x）＜0，則g′（x）＜0，
所以g（x）在區間（-1，1-

2

）單調遞增，在（1-

2

，1）上單調遞減，
則函數g（x）最小值是g（1-

2

）=

1-(1- 2 )

(1- 2 )2+1- 2

=-2

2

-3，
又g（1）=0，g（-1）無意義，所以函數g（x）最大值是0，
所以函數g（x）的值域是[-2

2

-3，0），
即實數a的取值范圍是：[-2

2

-3，0）．

點評：本題考查對數函數的單調性、定義域，函數奇偶性的判斷，對數不等式、分式不等式的求法，以及函數與導數的應用，考查運算求解能力與化歸、轉化思想．屬于難題．