Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點，是否存在這樣的實數a，使得A、B關于直線y=2x對稱？如果存在，求出a的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，假設存在實數a，使得A，B關于y=2x對稱，則直線y=ax+1與y=2x垂直，a=-

1

2

，直線l的方程為y=-

1

2

x+1，由此能推導出不存在實數a使A，B關于直線y=2x對稱．

解答： 解：由

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

，（*）
假設存在實數a，使得A，B關于y=2x對稱，則直線y=ax+1與y=2x垂直，
∴a=-

1

2

，直線l的方程為y=-

1

2

x+1，
把a=-

1

2

代入（*），得x₁+x₂=-

4

11

，
∴AB中點的橫坐標為x=-

2

11

，縱坐標為y=-

1

2

×(-

2

11

)+1=

12

11

，
∵AB中點（-

2

11

，

12

11

）不在直線y=2x上，
∴不存在實數a使A，B關于直線y=2x對稱．

點評：本題考查滿足條件的實數是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．