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6.據環保部通報,2016年10月24日起,京津冀周邊霧霾又起,為此,環保部及時提出防控建議,推動應對工作由過去“大水漫灌式”的減排方式轉變為實現精確打擊.某燃煤企業為提高應急聯動的同步性,新購置并安裝了先進的廢氣處理設備,使產生的廢氣經過過濾后排放,以降低對大氣環境的污染,已知過濾后廢氣的污染物數量N(單位:mg/L)與過濾時間t(單位:小時)間的關系為N(t)=N0e-λt(N0,λ均為非零常數,e為自然對數的底數)其中N0為t=0時的污染物數量,若經過5小時過濾后污染物數量為$\frac{1}{e}$N0
(1)求常數λ的值;
(2)試計算污染物減少到最初的10%至少需要多少時間?(精確到1小時)
參考數據:ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln10≈2.30.

分析 (1)由題意,$\frac{1}{e}$N0=N0e-5λ;從而解得λ;
(2)由(1)知,N(t)=N0${e}^{-\frac{1}{5}t}$,N0${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N010%,解出t≥12,從而得到最小值.

解答 解:(1)由題意,N(0)=N0;N(5)=$\frac{1}{e}$N0
∴$\frac{1}{e}$N0=N0e-5λ
解得,λ=$\frac{1}{5}$;
(2)由(1)知,N(t)=N0${e}^{-\frac{1}{5}t}$,
N0${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N010%,
解得,t≥12,
故污染物減少到10%至少需要12小時.

點評 本題考查了函數在實際問題中的應用,同時考查了對數運算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(0,$\sqrt{5}$)的直線l與橢圓C交于兩點A、B,以AB為直徑的圓經過點(0,-$\sqrt{5}$),求直線l的方程.

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