Question

6．據環保部通報，2016年10月24日起，京津冀周邊霧霾又起，為此，環保部及時提出防控建議，推動應對工作由過去“大水漫灌式”的減排方式轉變為實現精確打擊．某燃煤企業為提高應急聯動的同步性，新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過過濾后排放，以降低對大氣環境的污染，已知過濾后廢氣的污染物數量N（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：小時）間的關系為N（t）=N₀e^-λt（N₀，λ均為非零常數，e為自然對數的底數）其中N₀為t=0時的污染物數量，若經過5小時過濾后污染物數量為$\frac{1}{e}$N₀．
（1）求常數λ的值；
（2）試計算污染物減少到最初的10%至少需要多少時間？（精確到1小時）
參考數據：ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln10≈2.30．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{1}{e}$N₀=N₀e^-5λ；從而解得λ；
（2）由（1）知，N（t）=N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$，N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N₀10%，解出t≥12，從而得到最小值．

解答 解：（1）由題意，N（0）=N₀；N（5）=$\frac{1}{e}$N₀；
∴$\frac{1}{e}$N₀=N₀e^-5λ，
解得，λ=$\frac{1}{5}$；
（2）由（1）知，N（t）=N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$，
N₀${e}^{-\frac{1}{5}t}$≤N₀10%，
解得，t≥12，
故污染物減少到10%至少需要12小時．

點評 本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了對數運算，屬于中檔題．