Question

16．若F₁，F₂是橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9）的兩個焦點，圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于該線段的中點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點（0，$\sqrt{5}$）的直線l與橢圓C交于兩點A、B，以AB為直徑的圓經過點（0，-$\sqrt{5}$），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9），可得a=3，b=$\sqrt{m}$．不妨設橢圓的下焦點為F₁，設線段PF₁的中點為M，則OM⊥PF₁．利用中位線定理可得|PF₂|=2b．由橢圓定義可得：|PF₂|=2a-2b=6-2b．在Rt△OMF₁中，利用勾股定理可得c²=b²+（3-b）²，又c²=a²-b²，解得b²．即可得出．
（II）橢圓的上焦點為：F₂$（0，\sqrt{5}）$．設直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{5}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯立化為：$（4{k}^{2}+9）{x}^{2}+8\sqrt{5}$kx-16=0，△＞0．以AB為直徑的圓經過點（0，-$\sqrt{5}$），可得$\overrightarrow{{F}_{1}A}$$•\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，可得x₁x₂+$（{y}_{1}+\sqrt{5}）$$（{y}_{2}+\sqrt{5}）$=x₁x₂+$（k{x}_{1}+2\sqrt{5}）$$（k{x}_{2}+2\sqrt{5}）$=0，把根與系數的關系代入即可得出．

解答 解：（I）由橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{m}$=1（0＜m＜9），可得a=3，b=$\sqrt{m}$．
不妨設橢圓的下焦點為F₁，設線段PF₁的中點為M，則OM⊥PF₁．
又OM=b，OM是△PF₁F₂的中位線，∴|PF₂|=2b．
由橢圓定義可得：|PF₂|=2a-2b=6-2b．∴|MF₁|=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|$=3-b．
在Rt△OMF₁中，$|O{F}_{1}{|}^{2}$=|OM|²+$|M{F}_{1}{|}^{2}$．∴c²=b²+（3-b）²，
又c²=a²-b²=9-b²，∴b²+（3-b）²=9-b²，解得b=2，∴m=b²=4．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
（II）橢圓的上焦點為：F₂$（0，\sqrt{5}）$．設直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{5}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{5}}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：$（4{k}^{2}+9）{x}^{2}+8\sqrt{5}$kx-16=0，△＞0．∴x₁+x₂=$\frac{-8\sqrt{5}k}{4{k}^{2}+9}$，x₁•x₂=$\frac{-16}{4{k}^{2}+9}$，
∵以AB為直徑的圓經過點（0，-$\sqrt{5}$），∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$$•\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，
∴x₁x₂+$（{y}_{1}+\sqrt{5}）$$（{y}_{2}+\sqrt{5}）$=x₁x₂+$（k{x}_{1}+2\sqrt{5}）$$（k{x}_{2}+2\sqrt{5}）$=（1+k²）x₁x₂+$2\sqrt{5}$k（x₁+x₂）+20
=（1+k²）•$\frac{-16}{4{k}^{2}+9}$+2$\sqrt{5}$k×$\frac{-8\sqrt{5}k}{4{k}^{2}+9}$+20=$\frac{-16{k}^{2}+164}{4{k}^{2}+9}$=0，
解得k=$±\frac{\sqrt{41}}{2}$，
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{41}}{2}$x+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．