Question

11．如圖，拋物線C₁：y²=2x和圓C₂：（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$，其中p＞0，直線l經過C₁的焦點，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四點，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設拋物線的焦點為F，則|AB|=|AF|-|BF=x₁+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x₁，同理|CD|=x₂，由此能夠求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$．

解答 解：拋物線C₁：y²=2x的焦點為F（$\frac{1}{2}$，0），
∵直線l經過C₁的焦點F（$\frac{1}{2}，0$），
設直線l的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，得${k}^{2}{x}^{2}-（{k}^{2}+2）x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AB|=|AF|-|BF=x₁+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x₁，
同理|CD|=x₂，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{CD}$|•cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CD}$＞=x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用．