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11.如圖,拋物線C1:y2=2x和圓C2:(x-$\frac{1}{2}$)2+y2=$\frac{1}{4}$,其中p>0,直線l經過C1的焦點,依次交C1,C2于A,B,C,D四點,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的值為$\frac{1}{4}$.

分析 設拋物線的焦點為F,則|AB|=|AF|-|BF=x1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x1,同理|CD|=x2,由此能夠求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$.

解答 解:拋物線C1:y2=2x的焦點為F($\frac{1}{2}$,0),
∵直線l經過C1的焦點F($\frac{1}{2},0$),
設直線l的方程為y=k(x-$\frac{1}{2}$),
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-\frac{1}{2})}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$,得${k}^{2}{x}^{2}-({k}^{2}+2)x+\frac{{k}^{2}}{4}$=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則|AB|=|AF|-|BF=x1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=x1
同理|CD|=x2
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{CD}$|•cos<$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$>=x1x2=$\frac{1}{4}$.
故答案為:$\frac{1}{4}$.

點評 本題考查圓錐曲線的性質和應用,解題時要認真審題,注意公式的合理運用.

練習冊系列答案
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