Question

13．設x、y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，則x²+y²的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用x²+y²的幾何意義求最小值．

解答 解：設z=x²+y²，則z的幾何意義為動點P（x，y）到原點距離的平方．
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，對應的平面區域如圖
原點到直線x+y-1=0的距離最小．
由點到直線的距離公式得d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以z=x²+y²的最小值為z=d²=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查點到直線的距離公式，以及簡單線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義是解決線性規劃內容的基本方法，利用數形結合是解決本題的關鍵．