Question

3．已知拋物線C的頂點在坐標原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上一點M的橫坐標為2，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=10．
（Ⅰ）求此拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點（4，0）做直線l交拋物線C于A，B兩點，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設拋物線C：y²=2px（p＞0），點M（2，y₀），代入拋物線方程，運用向量的數量積的坐標表示，計算即可求得p=2，進而得到拋物線方程；
（Ⅱ）討論當直線l斜率不存在時，求出A，B坐標，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；當直線l斜率存在時，設l：y=k（x-4），聯立拋物線方程，運用韋達定理，結合向量垂直的條件，化簡整理即可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

解答 解：（Ⅰ）設拋物線C：y²=2px（p＞0），點M（2，y₀），
則有y₀²=4p，
∵F（$\frac{p}{2}$，0），∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=4-p+y₀²=4+3p=10，
∴p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，此時l：x=4，
解得A（4，4），B（4，-4），滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；
當直線l斜率存在時，設l：y=k（x-4），
聯立方程，消去y可得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
綜上所述，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線的方程的運用，以及直線和拋物線方程聯立，運用韋達定理，同時考查向量數量積的坐標表示，和向量垂直的條件，屬于中檔題．