Question

8．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a為正實數．
（1）當a=$\frac{4}{3}$時，求f（x）的極值點，并指出是極大值點還是極小值點；
（2）若f（x）為實數集R上的單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導數，列表即可得解；（2）f（x）為R上的單調函數可轉化為其導數在R上恒大于等于零或恒小于等于零．

解答 解：（1）當a=$\frac{4}{3}$時，$f（x）=\frac{{e}^{x}}{1+\frac{4}{3}{x}^{2}}$，∴$f′（x）=\frac{{e}^{x}（2x-3）（2x-1）}{3（1+\frac{4}{3}{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{3}{2}$．

x	（-$-∞，\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

∴${x}_{1}=\frac{3}{2}$是極小值點，${x}_{2}=\frac{1}{2}$是極大值點；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}（a{x}^{2}-2ax+1）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$
若f（x）為R上的單調函數，f′（x）在R上不變號
∵a＞0，∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4a=4a（a-1）≤0}\end{array}\right.$ 解得：0＜a≤1．
∴實數a 的取值范圍是（0，1]．

點評 本題考查導數在函數中的應用．考查了轉化的思想方法．在解題時應注意這種思想方法的運用．