Question

20．已知$sinαcosα=-\frac{7}{16}$，$α∈（\frac{π}{2}，π）$，則當正數m=2時，使得$mcos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$．

Answer 1

分析 此題實際上是求m=$\frac{sin（\frac{π}{4}-α）}{cos2α}$的值．根據二倍角公式和同角三角函數進行化簡求值．

解答 解：∵$mcos2α=sin（\frac{π}{4}-α）$．
∴m=$\frac{sin（\frac{π}{4}-α）}{cos2α}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα-cosα）}{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{cosα+sinα}$．
∵$sinαcosα=-\frac{7}{16}$，$α∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴sinα+cosα=±$\sqrt{1+2sinαcosα}$=±$\sqrt{1-\frac{7}{8}}$=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵m是正數，
∴sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{4}{\sqrt{2}}$）=2．
故答案是：2．

點評 本題主要考查了兩角和與差的正弦、二倍角公式以及同角三角函數，屬于基本知識的考查．