Question

10．已知函數f（x）=|x-t|+$\frac{t}{x}$（x＞0）；
（1）判斷函數y=f（x）在區間（0，t]上的單調性，并證明；
（2）若函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，求導數，利用導數小于0，可得結論；
（2）分類討論，要使函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，則t≥$\sqrt{t}$，即可求實數t的取值范圍．

解答 解：（1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{t}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數y=f（x）在區間（0，t]上單調遞減；
（2）t≤0，f（x）=x+t+$\frac{t}{x}$，函數單調遞增，無最小值，
t＞0時，x＞t，f（x）=x+$\frac{t}{x}$-t，要使函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，則t≥$\sqrt{t}$，
∴0＜t≤1，最小值為1．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．