Question

5．已知函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有四個零點，則實數k的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 根據題意知函數是一個偶函數且周期是2，畫出函數的圖象，數形結合，可得函數g（x）=f（x）-kx-k有四個零點，即函數f（x）的圖象與y=kx+k的圖象有四個交點時，實數k的取值范圍．

解答 解：由于f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期為2的函數，
∵x∈[0，1]時，f（x）=x 由于f（x）是偶函數，
∴x∈[-1，0]，f（x）=-x，
函數的圖象如下圖所示：

若函數g（x）=f（x）-kx-k有四個零點，
則函數f（x）的圖象與y=kx+k的圖象有四個交點，
由y=kx+k的圖象必過（-1，0）點，且過（3，1）點時，k=$\frac{1}{4}$，
由圖可得：k∈（0，$\frac{1}{4}$]，
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$]

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，數形結合思想，難度中檔．