Question

17．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短軸長為2，若直線l過點E（-1，0）且與橢圓交于A，B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意設出直線l的方程，與橢圓方程聯立，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求得|y₁-y₂|，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求得最值．

解答 解．（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
故橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）存在△AOB面積的最大值．
∵直線l過點E（-1，0），可設直線l的方程為 x=my-1．
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ x=my-1.\end{array}\right.$，整理得（m²+4）y²-2my-3=0．
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OE}|•|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{{2\sqrt{{m^2}+3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+3}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+3}}}}}$．
設$g（t）=t+\frac{1}{t}$，$t=\sqrt{{m^2}+3}$，$t≥\sqrt{3}$．
則g（t）在區間$[\sqrt{3}，+∞）$上為增函數，
∴$g（t）≥\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
∴${S_{△AOB}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，當且僅當m=0時取等號，即${（{S_{△AOB}}）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴S_△AOB的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，體現了“設而不求”的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．